이번 계절학기로 미분을 들으면서 가장 핵심적으로 봤던 것은 미분의 전반적인 개괄이다.
그래서 미분을 왜 할까?
내 생각에는 2가지의 이유가 가장 크다
1. 선형 근사값 찾기
2. 최대 최소 구하기
최종적으로 미분은 근사값을 찾거나 최대 최소를 구하기 위해 사용된다.
(경사하강법 minimize 값 찾기 위해 미분하는 것도 동일 이유)
간단한 예시를 보여드리겠다. 최대 최소는 많이 사용해서 알 것이고, 선형 근사 부분을 잠시 설명 하겠다.
선형 근사값
y = 2x ^이라는 기본적인 수식이다.
보통 여기에 해당하는 함수값을 찾으려면 x의 해당하는 값을 대입 해야한다.
하지만 x = 2.2345라는 값이 들어오면 y의 값을 구하기 어렵다. (계산기 두들기면 되긴하는데 간단한 예시를 들기 위해..)
그렇다면 이런 경우 어떻게 함수값을 구할 수 있을까? 함수값을 직접적으로 구해야하는 경우가 아닌 이상 근사값을 찾는 접근으로 바라보면, 주어진 문제의 답을 쉽게 찾을 수 있다.
2.2345라는 함수의 근사값을 찾기위해선 어떻게 해야할까?
x = 2를 지나는 미분 방정식을 찾는다.
미분계수는 항상 접선의 기울기라는 점을 잊으면 안된다.
미분 방정식을 구하기 위해 y = 2x^이 (2, 8)을 지나는 다는 점을 이용한다.
2를 접선으로 하는 방정식이 만들어진다. (빨간색 선) y = 2x^의 함수값을 구하기 위해, 미분 방정식을 이용한다.
미분 방정식을 구하고 그때의 함수값 2.2345를 미분한 값에 대입한다.
(보통 미분은 편리하고 쉽기 땜에 근사값으로 미분을 사용한다.)
(y= 2x^에 2.2345를 대입하여 두번 제곱하는 것 보다, 미분하여 1차식으로 만들고 2.2345 값을 대입하는 것이 훨씬 수월)
실제 함수값과 비교하면 오차가 매우 작은 것을 알 수 있다.
이렇듯 미분의 궁극적인 목적은 활용이다. 이 점을 잊으면 안된다.
먼저 앞서 미분의 목적을 배웠다. 그러면 미분이란 무엇일까?
미분은 기본적으로 접선의 기울기이다. 즉, 순간 변화율이라고도 할 수 있다.
(y = ax + b)에서 나타나는 a의 값 (따라서 기본적으로 스칼라 값임)
나는 공부하면서, 미분을 3가지로 정리하였다.
1. 편미분계수 (a= 2라는 점에서 접선의 기울기)
2. 편도함수 (가능한 임의의 점에서 존재할 수 있는 모든 접선의 기울기)
3. 미분 벡터방정식 (한 점을 접선으로 하는 선의 방정식)
위의 정리만 보면, 당연히 이해가 안된다. 하나씩 알아보자.
쉬운 이해를 위해 앞에서 예시를 동일하게 사용하겠다.
만약, x = 2 라는 점에서 편미분계수를 구한다면 8이 나온다.
추가 작성 중..